Sistem
Persamaan Linier Dua Variabel
Sistem persamaan linier (SPL)
adalah gabungan dua atau lebih persamaan linier yang saling berkaitan satu
dengan lainnya. selesaian adalah nilai pengganti peubah yang menyebabkan
persamaan menjadi pernyataan yang bernilai. Persamaan linier dua variabel
adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat atau derajat
tiap-tiap variabel sama dengan satu.
Bentuk umum persamaan linier dua variabel adalah :
ax + by = c
Dimana : x dan y adalah variabel
Sedangkan sistem persamaan dua
variabel adalah dua persamaan linier dua variabel yang mempunyai hubungan
diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan dua variabel
adalah :
ax + by = c
px + qy = r
Dimana :
x dan y disebut variabel
a, b, p dan q disebut koefisien
c dan r disebut konstanta
Ø
Metode-Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Metode-metode untuk menyelesaikan Sistem
Persamaan Linier Dua Variabel sebagai berikut :
a. Metode
Eliminasi
Dalam
metode eliminasi, salah satu variabel dieliminasikan atau dihilangkan untuk
mendapatkan nilai variabel yang lain dalam Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
tersebut. Untuk mengeliminasi suatu variabel, samakan nilai kedua koefisien
variabel yang akan dieliminasi, kemudian kedua persamaan dijumlahkan atau
dikurangkan.
contoh :
ada dua buah persamaan, yaitu 2x + y = 8 dan x –
y = 10 dengan x, y R. tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan
tersebut dengan metode eliminasi !
penyelesaian :
Dari
kedua persamaan tersebut, kalian bisa melihat koefisien yang sama di miliki
oleh variable y. maka dari itu, variable y inilah yang bisa kita hilangkan
dengan cara di jumlahkan. Dengan demikian nilai x bisa di tentukan dengan cara
berikut ini :
2x + y = 8
x – y
= 10
3x =
18
x = 6
2x + y = 8
| x 1 | 2x + y = 8
x – y
= 10 | x 2 | 2x – 2y = 20
3y
= -12
y = -4
maka, himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan di atas
b. Metode
Substitusi
Dalam metode substitusi, suatu variabel dinyatakan
dalam variabel yang lain dari SPLDV tersebut. Selanjutnya, variabel ini
digunakan untuk mengganti variabel lain yang sama dalam persamaan lainnya
sehingga diperoleh persamaan satu variabel.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dari 3x + 4y = 11
dan x + 7y = 15
Penyelesaian :
3x + 4y = 11 . . . persamaan (1)
x + 7y = 15 . . . persamaan (2)
Dari persamaan (2) didapat : x = 15 – 7y . . .
persamaan (3)
Kemudian substitusikan pesamaan (3) ke persamaan (1) :
3x + 4y = 11
⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11
⇔ 45 – 21y + 4y = 11
⇔ - 21y + 4y = 11 – 45
⇔
- 17y = - 34
⇔
y = 2
Nilai y = 2 kemudian substitusikan y
ke persamaan (3)
x = 15 – 7y
x = 15 – 7(2)
x = 15 – 14
x = 1
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya {(1, 2)}
c. Metode
Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)
Dalam metode ini, nilai salah satu variabel terlebih
dahulu dicari dengan metode eliminasi. Selanjutnya, nilai variabel ini
disubstitusikan ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel sama.
Contoh :
Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian
dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !
Penyelesaian :
Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi,
diperoleh :
2x – 5y = 2 | ×1 | 2x – 5y = 2
x + 5y = 6 | ×2 |
2x +10y = 12 -
-15y = -10
y = (-10)/(-15)
y = 2/3
Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.
x + 5y = 6
⇔ x + 5 (2/3) = 6
⇔ x + 10/15 = 6
⇔
x = 6 – 10/15
⇔
x = 22/3
Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(22/3,2/3)}
d. Metode
Grafik
Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik adalah titik
potong kedua garis dari persamaan linier penyusunan.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan x + y = 5 dan x – y = 1, untuk x,
y ∈ R dengan menggunakan metode grafik.
Penyelesaian:
Tentukan terlebih dahulu titik potong dari gais-garis
pada sistem persamaan dengan sumbu-sumbu koordinat seperti berikut ini:
Untuk gaaris x + y = 5
|
X
|
0
|
5
|
|
Y
|
5
|
0
|
|
(x,
y)
|
(0,
5)
|
(5,
0)
|
·
Titik potong sumbu x, syarat y = 0
x + y = 5
x + 0 = 5
x = 5
Jadi titik
potongnya (5,0)
·
Titik potong sumbu y, syarat x = 0
x + y = 5
0 + y = 5
y = 5
Jadi titik potongnya (0,5)
Untuk garis x - y = 1
|
X
|
0
|
1
|
|
Y
|
-1
|
0
|
|
(x,
y)
|
(0,
-1)
|
(1,
0)
|
Titik
potong sumbu x, syarat y = 0
x – y = 1
x – 0 = 1
x = 1
Jadi titik potongnya (1,0)
Titik
potong sumbu y, syarat x = 0
x – y = 1
0 – y = 1
y = -1
Jadi titik potongnya (0,-1)
Soal Latihan :
1.
Harga
2 pasang sepatu dan 3 pasang sendal adalah Rp. 3000.000,00.
Sedangkan 3 pasang sepatu dan 4 pasang sendal Rp. 425.000,00. Berapa harga
sepasang sepatu dan 2 pasang sendal adalah ….
a. Rp.
175.000,00
c. Rp. 195.000,00
b. Rp.
190.000,00
d. Rp. 205.000,00
Penyelesaian :
Misal harga
sepasang sepatu = x
harga sepasang
sendal = y
Sehingga harga 2
pasang sepatu dan 3 pasang sendal dinyatakan sebagai berikut :
2x + 3y =
300.000
Harga 3 pasang
sepatu dan 4 pasang sendal dinyatakan sebagai berikut :
3x + 4y =
425.000
Model
matematikanya :
2x + 3y = 300.000
3x + 4y = 425.000
·
Mengeliminasi
variabel x
2x + 3y =
300.000 |
x3 |
6x + 9y = 900.000
3x + 4y =
425.000 | x2 |
6x + 8y = 850.000
y = 50.000
·
Substitusikan
nilai y = 50.000 ke persamaan 2x + 3y = 300.000
Maka 2x + 3
(50.000) = 300.000
2x + 150.000 = 300.000
2x = 300.000 – 150.000 = 150.000
x = 75.000
Harga sepasan
sepatu = Rp. 75.000,00 dan harga sepasang sendal = Rp.50.000,00
Jadi , harga
sepasang sepatu dan 2 pasang sendal
= 75.000,00 + 2
(150.000,00)
=
75.000,00 + 100.000,00
= Rp.
175.000,00
JAWABAN : A
2.
Harga
5 kue A dan 2 buah kue B Rp. 4.000,00. Sedangkan harga 2 buah kue A dan harga 3
buah kue B Rp. 2.700,00. Jadi , harga sebuah kue A dan dua buah kuea B adalah
….
a. Rp. 1.200,00
c. Rp. 1.800,00
b. Rp. 1.600,00
d. Rp. 2.400,00
Penyelesaian :
Misal
harga sebuah kue A = A
harga
sebuah kue B = B
Sehingga 5 buah
kue A dan 2 buah kue B dinyatakan sebagai berikut :
5A + 2B = 4.000
Harga 2 buah kue
A dan harga 3 buah kue B dinyatakan sebagai berikut :
2A + 3B = 2.700
Model
matematikanya : 5A + 2B = 4.000
2A + 3B = 2.700
·
Mengeliminasi
variabel
5A + 2B =
4.000 | x2 |
10A +4B = 8000
2A + 3B =
2.700 | x5 |
10A + 15B = 13500
-11B = -5500
B = -5500
-11
·
Substisikan
nilai B = 500 kepersamaan 5A +2B = 4.000
Maka 5A +
2B = 4000
5A + 2(500) = 4000
5A
+ 1000 = 400
5A
= 4000-100
5A
= 3000
A = 3000 : 5 = 600
Harga sebuah kue
A = Rp.600,00 dan harga sebuah kue B = Rp. 500,00
Jadi, jumlah
harga kue A dan kue B
= 1x Rp. 600,00
+ 2x Rp. 500,00
=
Rp. 600,00 + Rp. 1000,00
= Rp.
1.600,00
JAWABAN : B
3.
Harga
8 buah buku tulis dan 6 buah pensil Rp. 14.400,00, sedangkan harga 2 buah buku
dan 7 buah pensil Rp.11.200,00. Harga 2 lusin buku dan 4
lusin Pensil adalah ….
a. Rp.
13.600,000,00 c.
Rp. 12.400,000,00
b. Rp.
12.800,000,00 d. Rp.
11.800,000,00
Penyelesaian
Misal harga
sebuah buku tulis = x
Harga sebuah
pensil
= y
Sehinga 8 buah
buku tulis dan 6 buah pensil dinyatakan sebagai
Berikut : 8x +
6Y = 14.400
Harga 6 buah
buku tulis dan 5 buah pensil dinyatakan sebagai berikut :
6x + 5y = 11.200
·
Mengeliminasi
variabel x
8x + 6y
=14.400 |x6|
48x + 36y = 86.400
6x + 5y = 11.200
|x8|
48x + 40y = 89.600
-4y = -3.200
y = -3.200 : 4
y = 800
·
Substitusikan
nilai y = 800 kepersamaan 8x +6y = 14.400
Maka 8x
+6y(800) = 14.400
8x + 4800 = 14.400
8x = 9.600
x = 9.600 : 8
x = 1.200
Harga sebuah
buku tulis = Rp. 1.200,00 dan harga sebuah pensil = Rp. 800,00. Jadi , jumlah
harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil
= 5 x
Rp.1.200,00 + 8 x Rp.800,00
=
Rp. 6.000 + Rp. 64.000,00
= Rp. 12.400,00
JAWAB : C
0 Comments:
Posting Komentar