Konvergen

Barisan

Definisi: Suatu barisan (pada bilangan real) adalah suatu fungsipada himpuan bilangan asli dengan range-nya (daerahhasilnya) dalam .

Dengan kata lain barisan pada . memasangkan setiap bilanganasli ke suatu bilangan real. Bilangan real yang diperoleh disebut nilai dari barisan. Umumnya suatu bilanganreal yang dipasangkan ke suatu dinotasikan . Sedangkanbarisan dinotasikan .

Contoh

adalab barisan 2, 6, 8, 10, …

adalah barisan 1, 1/2, 1/3,…

adalah barisan konstantanta 3, 3, 3,..

Konvergen

Para matematikawan menyadari ada barisan-barisan yang mempunyai sifat semakin besar maka nilai akan mendekatisuatu nilai . Sebagai contoh . Semakin besar maka akan mendekati nol tetapi tidak pernah mencapai nol. (kenapa?).  Jika mendekati seiring membesarnya lalu kitanotasikan sebagai jarak antara dengan , dengan mudah kitaketahui nilai akan semakin kecil jika membesar. Begitu pula sebaliknya akan membesar jika mengecil. Pertanyaannyaadalah berapa minimal sedemikan hingga jika diambil suatu , jarak dengan akan selalu kurang dari ?

Pertanyaan inilah yang merupakan konsep dasar dari konvergen, untuk selanjutnya “minimal ” akan dinotasikan 

Definisi: Diberiksan suatu barisan , suatu bilanganreal dikatakan limit dari barisan , jika untuk sebarangbilangan positif terdapat suatu bilangan asli sedemikainhingga untuk semua bilangan asli dengan berlaku . Jika merupakan limit dari barisan maka dikatakan konvergen ke . Jika barisan tidak mempunyai nilai limit makadikatakan barisan tersebut divergen.

Yang perlu diperhatikan adalah . Notasi menandakanbahwa pemilihan nilai tergantung dari pemilihan . Jika suatubarisan konvergen ke maka dinotasikan 

Contoh

1. Buktikan 

Harus dibuktikan untuk setiap terdapat suatu bilangan asli sedemikain hingga untuk semua bilangan asli dengan berlaku .

Ambil sebarang maka . Berdasarkan sifat Archimedeanmaka terdapat bilangan asli . Untuk semua bilangan asli maka , diperoleh . Jadi untuk semua berlaku

Terbukti barisan konvergen ke 0. Karena untuk semuabilangan asli dengan , jarak dengan 0 akan selalukurang dari tidak peduli berapapun nilainya.