Himpunan

HIMPUNAN

 

1   PENGERTIAN HIMPUNAN

       Himpunan adalah kumpulan dari beberapa objek yang berbeda dan jelas.

Contoh : B = kumpulan orang yang tingginya 1,5 meter I A-SORE.

2  CARA MENYAJIKAN HIMPUNAN

·         Dengan Kata-Kata

Contoh : P adalah bilangan prima antara 10 dan 40

              P = { bilangan prima antara 10 dan 40 }

·         Dengan Mendaftarkan Anggotanya

Contoh : P = { 11,13,17,19,23,29,31,37 }

·         Dengan Notasi

Contoh : P = { x ǀ10 < x < 40, x ϵ bilangan prima }

     KARDINALITAS

       Kardinalitas adalah ukuran banyaknya elemen berbeda yang dikandung oleh himpunan tersebut.

Notasi : n (A)               = banyaknya himpunan A atau

              ǀAǀ      = kardinal A

Contoh : M   = {apel,jeruk,anggur,mangga}

             n(M)   =         4

             ǀAǀ    = 4

CATATAN : Jika ada yang sama dihitung satu.

4   MACAM-MACAM HIMPUNAN

a.      Himpunan kosong         = tidak mempunyai elemen atau anggota dan simbolnya { } /Ø

b.      Himpunan bagian         = jika A mempunyai anggota si B begitu juga sebaliknya dan simbolnya A C̱ B ↔ A ϵ B

Contoh : A = {0, 2, 4, 6} dan B = {0, 2, 4, 6, 8} → A C̱ B

c.      Himpunan berhingga    = mempunyai batas

d.      Himpunan tak hingga   = tidak mempunyai batas

e.      Himpunan semesta       = himpunan semua objek

f.       Himpunan lepas            = biasanya menggunakan diagram venn dan notasinya A // B Contoh : A = {Xǀ X ϵ P, X < 8} dan B = {10, 20, 30,...} → A // B

g.      Himpunan kuasa           = himpunan semua elemen termasuk himpunan kosong dan simbolnya p (A)

Contoh : P = {1, 3, 4} jadi n(P) = 3

h.      Himpunan ekivalen       = A B ↔ ǀAǀ = ǀBǀ

Contoh : S = {1, 2, 3, 4 } dan T = {a, b, c, d} → S ~ T sebab ǀ S ǀ = ǀ T ǀ = 4

i.        Himpunan sama           = A = B ↔ A C̱ B dan B C̱ A

Contoh : A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10} C = {7, 3,9,1,5}

A ≠ B, n(A) = n(B) = tidak himpunan sama

A = C, n(A) = n(C) = himpunan sama

5   OPERASI PADA HIMPUNAN

a.      Irisan                   = A  B  = { x ǀ x ϵ A, x ϵ B }

Contoh : A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 4, 5, 6, 7} → A  B = {3, 4}

b.      Gabungan            = A B  = { x ǀ x ϵ A atau x ϵ B }

Contoh : A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 4, 5, 6, 7} → A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

c.      Penjumlahan       = A + B   = { x ǀ x ϵ A, x ϵ B, x  A  B }

Contoh : A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 4, 5, 6, 7} → A + B = {1, 2, 5, 6, 7}

d.      Beda setangkup   = (AB) – (AB) = (A-B)  (B-A) / Sama dengan penjumlahan

e.      Komplemen         = Ā         = { x ǀ x ϵ U, x ∉ A }

Contoh : U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan A = {1, 3, 7, 9} → Ā = {2, 4, 5, 6, 8}

f.        Selisih                 = A – B = {X ǀ X ϵ A, X ∉ B} = A B̄

Contoh : A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 4, 5, 6, 7} → A – B = {1, 2}, B – A = {5, 6, 7}

g.      Perkalian            = A x B = {(a, b)ǀ a ϵ A, b ϵ B}

Contoh : A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c}

A x B = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (4,a), (4,b), (4,c)}

       MULTISET (HIMPUNAN GANDA)

                                I.   Gabungan

Contoh : P = {a, a, a, c, d, d} dan Q = {a, a, b, c, c} → P Q = {a, a, a, b, c, c, d, d}

                              II.  Irisan

Contoh : P = {a, a, a, c, d, d} dan Q = {a, a, b, c, c} → P  Q = {a, a, c}

                           III.  Selisih

Contoh : P = {a, a, a, c, d, d} dan Q = {a, a, b, c, c} → P – Q = {a, d, d}

                           IV.  Penjumlahan

Contoh : P = {a, a, a, c, d, d} dan Q = {a, a, b, c, c} → P + Q = {a, a, a, a, a, b, c, c, c, d, d}

7  HUKUM HIMPUNAN

a)    Hukum Identitas                      

v  A  Ø = A                    

v  A  U = A

b)    Hukum null/dominasi

v  A  Ø = Ø

 U = U

c)     Hukum Komplemen

v  A  Ā = U

v  A   Ā = Ø

d)    Hukum Idempoten

v  A  A  = A

v  A  A  = A

e)    Hukum Involusi

v  (Ā̄)     = A

f)      Hukum Absorpsi (penyerapan)

v  A  (A  B) = A

v  A  (A  B) = A

g)    Hukum Komutatif

v  A  B = B  A

v  A  B = B  A

h)    Hukum Asosiatif

v  A  (B  C) = (A  B)  C

v  A  (B  C) = (A  B)  C

i)      Hukum Distributif

v  A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

v  A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

j)      Hukum De Morgan

v   = Ā  B̄

v   = Ā  B̄

k)    Hukum komplemen 2

v  Ø̄ = U

v  Ū = Ø

       HIMPUNAN BILANGAN

Bilangan kompleks terbagi 2 :

1)    Imajiner

I² = -1

% : X²  + 1 = 0

X²  = -1

X   =  = -1

Note : Jika pangkatnya genap hasilnya negatif, jika pangkatnya ganjil hasilnya positif.

2)    Real terbagi 2 :

                                                         i.      Irasional (tidak habis bagi)

Contoh :

                                                       ii.      Rasional (habis dibagi) terbagi 2 :

Ø Bilangan Bulat

Ø Bilangan Pecahan

                        Bilangan bulat terbagi 2 :

Ø  Bilangan Bulat negatif

Ø  Bilangan Cacah

                        Bilangan cacah terbagi 2 :

Ø  Bilangan Asli (bulat positif kecuali 0)

Ø  Bilangan Nol

                        Bilangan asli terbagi 4 :

Ø  Bilangan komposit

Ø  Bilangan prima

Ø  Bilangan genap

Ø  Bilangan ganjil