MANFAAT MATEMATIKA DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

          

              Pengertian matematika menurut kamus besar Bahasa Indonesia adalah ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antar bilangan dan prosedur operasionalyang digunakan dalam penyelesaian masalah bilangan. Dalam perkembangannya bilangan ini diaplikasikan ke bidang ilmu-ilmu lain sesuai penggunaannya. Menurut James dan James (1976), matematika diartikan sebagai ilmu logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang saling berubungan satu sama lainnya dengan jumlah yang terbagi ke dalam tiga bidang yaitu aljabar, analisis, dan geometri. Sedangkan menurut Reys dkk. (1984), matematika diartikan sebagai analisis suatu pola dan hubungannya, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa, dan suatu alat. Berdasarkan pengertian-pengertian tentang matematika tersebut maka matematika dapat diartikan sebagai suatu ilmu yang mempelajari bilangan dan bangun serta konsep-konsep yang berkenaan dengan kebenarannya secara logika menggunakan simbol-simbol yang umum serta aplikasi dalam bidang lainnya. Pendidikan matematika dapat diartikan sebagai proses perubahan baik kognitif, afektif, dan kognitif kearah kedewasaan sesuai dengan kebenaran logika. 

            Peran serta pendidikan matematika dalam pendidikan secara keseluruhan sangat luas tidak hanya berkaitan tentang hal yang teknis dan ilmiah saja. Buktinya bahwa persoalan-persoalan dalam kehidupan sehari-hari dapat diuraikan dalam model matematika sehingga penyelesaiannya lebih cepat dan sederhana. Hal ini sesuai dengan tujuan pengajaran matematika di sekolah yang tertuang dalam kurikulum bahwa matematika melatih siswa untuk berpikir kritis, kreatif, inovatif, dan mampu menyelesaikan masalah dengan tepat dan singkat serta dapat dipertanggungjawabkan. 

            Menurut H. Winter (1972), siswa seharusnya belajar berargumentasi, mengerti apa yang dibicarakan, memahami lalu dapat mengabstraksikannya sehingga menyeimbangkan penggunaan otak kiri dan otak kanan (otak kiri digunakan untuk menghitung dan otak kanan untuk kreatifitas) untuk mematematisasikan situasi di sekelilingnya. Sehingga guru harus mampu berkomunikasi dengan baik dalam kegiatan pembelajaran agar materi atau konsep yang disampaikan tidak disalahterimakan siswa. Hal ini agar pengajaran matematika tidak membosankan, menarik, dan menyenangkan. 

            Ada beberapa karakteristik matematika, antara lain : 

1. Objek yang dipelajari abstrak. 

            Sebagian besar yang dipelajari dalam matematika adalah angka atau bilangan yang secara nyata tidak ada atau merupakan hasil pemikiran otak manusia. Menurut Cockroft (1982), matematika sulit dipelajari dan sulit diajarkan karena objek yang dipelajari bersifat abstrak yaitu angka atau bilangan dan memiliki hirarki yang tegas serta banyak manipulasi lambang, sehingga Guru harus dapat mengembangkan kualitas pribadi dan siswanya secara keseluruhan, yaitu : Kebiasaan bekerja dengan baik seperti : imajinatif, kreatif, dan fleksibel, sistematik, independen dalam berpikir dan bertindak, bekerja sama, dan cermat. Serta sikap positif terhadap matematika antara lain : terpesona dengan matematika; berminat dan termotivasi; gembira dan menyukai matematik; menghargai maksud, kekuatan, dan relevansi matematika dalam kehidupan; kepuasan yang tumbuh dari keberhasilan dan keyakinan akan kemampuannya mengerjakan matematika. 

2. Kebenaranya berdasarkan logika. 

            Kebenaran dalam matematika adalah kebenaran secara logika bukan empiris. Artinya kebenarannya tidak dapat dibuktikan melalui ekserimen seperti dalam ilmu fisika atau biologi. Contohnya nilai √-2 tidak dapat dibuktikan dengan kalkulator, tetapi secara logika ada jawabannya sehingga bilangan tersebut dinamakan bilangan imajiner (khayal). 

3. Pembelajarannya secara bertingkat dan kontinu. 

            Pemberian atau penyajian materi matematika disesuaikan dengan tingkatan pendidikan dan dilakukan secara terus-menerus. Artinya dalam mempelajari matematika harus secara berulang melalui latihan-latihan soal. 

4. Ada keterkaitan antara materi yang satu dengan yang lainnya. 

            Materi yang akan dipelajari harus memenuhi atau menguasai materi sebelumnya. Contohnya ketika akan mempelajari tentang volume atau isi suatu bangun ruang maka harus menguasai tentang materi luas dan keliling bidang datar. 

5. Menggunakan bahasa simbol. 

            Dalam matematika penyampaian materi menggunakan simbol-simbol yang telah disepakati dan dipahami secara umum. Misalnya penjumlahan menggunakan simbol "+" sehingga tidak terjadi dualisme jawaban. 

6. Diaplikasikan dibidang ilmu lain. 

            Matematika dapat digunakan untuk menyeleksi atau menyaring data yang ada. Seperti tes seleksi calon PNS, Polisi, TNI, pelajar, mahasaiswa atau karyawan menggunakan tes tulis dengan materi matematika (biasanya logika dan berhitung) untuk mengetahui kemampuan berpikir cepat dan dapat menyelesaikan masalah. Dalam bidang teknik matematika digunakan seperti teknik informatika atau komputer menggunakan konsep bilangan basis, teknik industri atau mesin matematika digunakan untuk menentukan ketelitian suatu alat ukur atau perkakas yang digunakan. 

Read more

Bangun Datar

BANGUN DATAR

Bangun datar adalah sebutan untuk bangun-bangun dua dimensi, gabungan bangun datar dapat membentuk bangun ruang seperti tabung atau yang lainnya. Terdapat macam-macam bangun datar, diataranya persegi panjang, persegi, segitiga, jararan genjang, trapesium, lingkaran, layang-layang dan belah ketupat.

1. Persegi Panjang : Segi empat yang mempunyai 4 buah sisi, sisi-sisinya yang berhadapan sama panjang, sejajar, dan tegak lurus.
   Sifat-Sifatnya :

   - Menenpati bingkainya dengan 4 cara (memiliki 4 simetri putar)
   - Sisi yang berhadapan, sejajar sama besar.
   - Diagonal-diagonalnya membagi 2 sama panjang.
   - Memiliki 4 buah sudut yang sama besar.
  - Memiliki 2 buah sumbu simetri dan 2 simetri putar.

2. Persegi : Segi empat yang dibatasi oleh 4 buah sisi yang sama panjang.
  Sifat-Sifatnya :

   - Sudut-sudutnya siku-siku.
   - Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
   - Perpotongan diagonal membentuk sudut siku-siku.
   - Memiliki 4 sumbu simetri.
  - Diagonal-diagonalnya berpotongan dan membagi 2 sama panjang.

3. Jajar Genjang : Segi empat yang mempunyai sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
  Sifat-Sifatnya :

   - Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
   - Besar sudut-sudut yang berhadapan adalah sama.
   - Besar sudut-sudut yang berdekatan jumlahnya = 180°.
   - Kedua diagonal saling membagi dua sama panjang.
   - Tidak mempunyai sumbu simetri
  - Memiliki 2 simetri putar.

4. Belah Ketupat : Segi empat yang dibentuk dari dua segitiga sama kaki dan diagonal-diagonalnya saling tegak lurus.
  Sifat-Sifatnya :

   - Semua sisi sama panjang.
   - Kedua diagonalnya merupakan sumbu simetri.
   - Kedua diagonalnya saling membagi 2 sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.
   - Mempunyai 2 sumbu simetri.
  - Dapat menempati bingkainya dengan 4 cara (memiliki 4 simetri putar).

5. Layang-Layang : Segi empat yang dibentuk oleh 2 segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan berimpit.
  Sifat-Sifatnya :

   - Mempunyai 2 pasang sisi sama panjang.
   - Mempunyai 2 garis diagonal yang berpotongan tegak lurus.
   - Mempunyai 1 sumbu simetri.
  - Mempunyai 2 simetri putar.

6. Trapesium : Segi empat yang memiliki sepasang sisi berhadapan sejajar.
  Sifat-Sifatnya :

   - Jumlah sudut yang berdekatan di antara 2 sisi sejajar adalah 180°.
   - Sudut-sudutnya sama besar.
   - Diagonal-diagonalnya sama panjang.
   - Kaki-kakinya sama panjang.

7. Segitiga : Bangun datar yang di batasi oleh 3 garis lurus dan membentuk 3 sudut.
  Jenis-Jenis Segitiga :
   a. Ditinjau dari panjang sisinya :

   - Segitiga sama kaki
   - Segitiga sama sisi
   - Segitiga sembarang
   b. Ditinjau dari besar sudutnya :

   - Segitiga lancip
   - Segitiga tumpul
   - Segitiga siku-siku

8. Lingkaran : Bangun datar yang memiliki diameter dan jari-jari, memiliki simetri putar dan sumbu simetri tak hingga.

Read more

Bilangan cacah

Pengertian Bilangan Cacah

Bilangan cacah itu adalah bilangan yang dimulai dari angka 0 (nol) dan bilangan ini selalu bertambah satu dari bilangan sebelumnya, atau bisa juga disebut himpunan bilangan bulat yang bukan negatif, dan bilangan cacah juga bisa diartikan sebagai himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.

Contoh Bilangan Cacah

Contoh bilangan yang termasuk ke dalam himpunan bilangan cacah adalah :

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...}

Dari contoh bilangan cacah tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa bilangan cacah terbentuk dari himpunan bilangan asli dengan menambahkan nol di depannya.

Bilangan cacah biasanya disimbolkan dengan huruf "C". sehingga apabila kalian ingin menuliskan himpunan bilangan cacah serta seluruh unsur bilangan cacah, kalian bisa menuliskannya sebagai berikut:

C = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,11,12,...dst.}

Operasi penjumlahan pada bilangan cacah

Di dalam penjumlahan bilangan cacah, berlaku sifat-sifat:

• sifat pertukaran, contohnya: a + b = b + a

• sifat pengelompokkan, contohnya: (a + b) + c = a (b + c)

• sifat identitas, contohnya: a + 0 = 0 + a

Operasi pengurangan bilangan cacah

Operasi pengurangan pada bilangan cacah merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan yang telah dijelaskan di atas.

contoh:

a - b = c sama dengan b + c = a (a harus lebih besar dari b)

a - b = b - a (bila keda bilangan nilainya sama, a = b)

di dalam pengurangan bilangan cacah tidak berlaku sifat identitas kareNa a - 0 ≠ 0 - a

Operasi perkalian bilangan cacah

Konsep perkalian bilangan cacah dapat didefinisikan sebagai hasil penjumlahan berulang-ulang dari bilangan cacah yang dikalikan, misalnya: 3 x 4 = 4 + 4 + 4 sedangkan 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3

Di dalam perkalian bilangan cacah juga berlaku sifat :

a x b = b x a

( a x b) x c = a x (b x c) => sifat pengelompokkan

a x 1 = 1 x a => sifat identitas

a x (b + c) = (a x b) + (a x c) => sifat distributif

Operasi pembagian bilangan cacah

Di dalam operasi pembagian bilangan cacah, berlaku konsep pengurangan berulang, misalnya:

10 : 2 = 10 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2

Hasil dari pembagian tersebut adalah jumlah pengulangan angka yang dikurangkan, pada contoh di atas hasilnya adalah 5.

Seperti halnya di dalam operasi pengurangan bilangan cacah, di dalam operasi pembagian ini jga tidak berlaku sifat-sifat pertukaran, identitas, pengelompokkan, dan distributif.

Read more

TOKOH-TOKOH ALJABAR

Tokoh-Tokoh Aljabar

            Tokoh-tokoh Aljabar Siapa yang tidak kenal dengan mata pelajaran Matematika, dari sejak kecil, pasti kita sudah mengenalnya. Kehidupan sehari-hari pun nampaknya tidak terlerpas dari unsur-unsur yang terdapat pada matematika.Hal ini dapat terlihat hampir dalam semua aktivitas manusia. Orang yang berpendidikan rendah bahkan orang tidak berpendidikan, mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari, misalnya saat jual beli.        Matematika berasal dari bahasa yunani “Mathematikos” yang artinya “ilmu pasti” atau ilmu yang mempelajari tentang besaran, struktur, bangun ruang dan perubahan-perubahan pada suatu bilangan. Dalam matematika terdapat banyak cabang-cabang ilmu matematika salah satunya yaitu Aljabar yang merupakan ilmu dasar dari ilmu matematika.     Aljabar berasal dari bahasa Arab “Al-Jabr” yang berarti (pertemuan, hubungan, atau penyelesaian) yaitu suatu cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atau perinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah yang menggunakan simbol atau huruf tertentu.      Tapi, apakah Anda tahu siapakah tokoh-tokoh yang telah berperan dalam perkembangan Aljabar? Berikut tokoh-tokoh yang telah berperan dalam perkembangan Aljabar yaitu:

1.      Diophantus (200-284 SM) Dipohantus adalah seorang matematikawan yunani yang bermukim di Alexandria, Mesir. Ia adalah seseorang yang menemukan Variabel penulisan Aljabar dan Arithmetica. Semasa hidupnya Diophantus menulis tiga buah karya, akan tetapi Arithmetica adalah karyanya yang terkenal. Arithmetica adalah suatu pembahasan analisis tentang teori bilangan yang isinya merupakan pengembangan Aljabar yang dilakukan dengan membuat persamaan. Persamaan-persamaan tersebut di sebut persamaan Diophantus (Diphantine Eqution). Persamaan Diophantine ini adalah persamaan bersuku banyak. Diophantus menyatakan bahwa suatu persamaan linear Diophantine ax + by = c dengan a,b dan c bilangan bulat yang mempunyai penyesuaian bilangan bulat jika dan hanya jika gcd (a,b) membagi habis c. jadi c merupakan kelipatan dari gcd (a,b). Contoh persamaan diophantine:

Misalkan kita harus menyelesaikan 9x+16y = 35

9x+16y = 35 berarti 16y ≡ 35 (mod9)

 7y ≡ 35 ( mod 9)

y ≡ 5 ( mod 9)

Berarti y = 5 + 9t untuk suatu bilangan bulat t. Nilai y ini disubsitusikan pada 9x + 16y = 35 memberikan 9x + 16(5 + 9t) = 35 9x + 144t = - 45 x + 16t = - 5 x = - 5 – 16t sehingga himpunan penyelesaian dari 9x + 16y = 35 adalah {(x,y) ∣ x = -5-16t, y =5 + 9t dan t bilangan bulat} Jika t = 0, maka x = -5, y = 5, sehingga (-5, 5) adalah salah satu penyelesaian dari persamaan 9x + 16y = 35.

            Penyelesaian itu secara umum dapat dikatakan bahwa apabila (x0, y0 ) adalah suatu solusi dari persamaan linier Diopantus ax + by = c, maka solusi lainnya (x0 − bt, y0 + at) untuk setiap bilangan bulat. Perlu diingat bahwa ax + by =c sama artinya dengan ax ≡ c (mod b) atau by ≡ c (mod a). Kedua perkongruenan ini akan mempunyai solusi, apabila (a,b)∣c, dan pengkongruenan itu tidak mempunyai solusi, apabila (a,b) ł c. Jadi dapat disimpulkan bahwa : (1) Persamaan Linier Diophantus ax + by = c dengan ab # 0 tidak mempunyai penyelesaian, bila (a,b) ł c (2) Persamaan Linier Diophantus ax + by = c dengan ab # 0 mempunyai penyelesaian (solusi), bila (a,b) ∣ c

2.      Al-Khawarizmi (780-850 SM) Al-Khawarizmi nama aslinya yaitu Abu Abdulloh Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi adalah seorang matematikawan muslim dari Persia yang di lahirkan pada tahun 194 H / 780 M, tepatnya di Khawarizm, Uzbeikistan. Dia adalah orang yang pertama kali mencetus Aljabar dalam bukunya dengan judul “Al-kitab Al-Muktasar Fi Isab Al-Jabr wa-l-Muqabala” ( kitab yang merangkum perhitungan perlengkapan dan penyeimbangan yang di tulis pada tahun 830 SM kitab ini merangum definisi Aljabar dan dalam kitab ini juga di berikan penyelesaian persamaan linear dan kuadrat dengan menyederhanakan persamaan menjadi salah satu dari enam bentuk standar.

3.      Al-Qalasadi (1412-1486 M) Al-Qalasadi nama lengkapnya yaitu Abu Al-Hasan Ibn Ali Al-Qalasadi, dia lahir pada tahun 1412 di Basth, sebuah kota moor di Anadalusia yang kini menjadi bagian dari Spanyol. Ia merupakan salah satu matematikus muslim di abad ke-15 yang berjsa memperkenalkan simbol-simbol Aljabar. Abu Al-Hasan Ibn Ali Al-Qalasadi telah memperkenalkan simbol-simbol matematika dengan menggunakan karakter dari alfabet Arab. Ia menggunakan ‫و (wa) yang berarti ”dan” untuk penambahan (+). Untuk pengurangan (-), al- Qalasadi menggunakan ‫ا‫ال (illa) berarti ”kurang”. Sedangkan untuk perkalian (x), ia menggunakan ‫ف (fi) yang berarti ”kali”. Simbol ‫عل (‘ala) yang berarti ”bagi” digunakan untuk pembagian (/). Selain itu, Al-Qalasadi juga menggunakan simbol ‫ﺝ (j) untuk melambangkan “akar”. Simbol ‫ﺹ (sh) digunakan untuk melambangkan sebuah variabel (x). lalu ia menggunakan simbol ‫ﻡ (m) untuk melambangkan “kuadrat” (𝑥2 ). Huruf ‫ﻙ (k) digunakan sebagai simbol “pangkat tiga” (𝑥3 ).

4.      Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856 M) Nikolai adalah seorang matematikawan yang berasal dari Rusia. Ia dikenal sebagai orang yang mengembangkan geometri non-Euclides (independen dari hasil karya Janos Bolyai) yang di umukannya pada 23 Februari 1826, serta metode hampiran akar persamaan Aljabar yang dikenal dengan nama metode Dandelin Graffe. Gambar 4. Nikolai Ivanovich Lobachevsky 5. Sharaf al-Din al-Tusi (1135-1213 M) Sharaf al-Din al-Tusi nama aslinya yaitu Sharaf al-Din al-Muzaffar Ibn Muhammad Ibn al-Muzzaffar al-Tusi ia adalah matematikawan dan astronom islam dari Persia. Sharif al-Din mengajar berbagai topik matematika, astronimi dan yang terkait, seperti bilangan, table astronomi, dan astrologi. Al-Tusi menulis beberapa makalah tentang Aljabar. Dia memberikan metode yang kemudian di namakan sebagai metode Ruffini-Horner untuk menghampiri akar persamaan kubik.

     Meskipun sebelumnya metode ini telah digunakan oleh para matematikawan Arab untuk menemukan hampiran akar ke-n dari sebuah bilangan bulat. al-Tusi adalah orang yang pertama kali yang menerapkan metode ini untuk memecahkan persamaan umum. Dalam Al-Mu’adalat (tentang persamaan), al-Tusi menemukan solusi Aljabar dan numeric dari persamaan kubik dan yang pertama kali menemukan turunan polynomial kubik, hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.

5.      Omar Khayyam (1048-1131 M) Omar Khayayam di lahirkan di Nishapur, Iran. Nama aslinya adalah Ghiyatsuddin Abulfatah Umar bin Ibrahim Khayyam Nisyaburi. Khayyam berarti “ pembuat tenda” dalam bahasa Persia. Ia adalah ilmuan matematika yang berasal dari Persia yang membangun Aljabar Geometrid an menemukan bentuk umum Geometrid an persamaan kubik. Omar meneruskan tradisi Aljabar Al-Khawarizmi dengan memberikan persamaan sampai pangkat tiga. Seperti pendahulunya Omar Khayyam melengkapi dengan persamaan kuadrat, baik untuk solusi Arithmetica maupun solusi Geometri. Untuk persamaan umum pangkat tiga dipercayainya bahwa solusi untuk Aritmetica adalah tidak mungkin ( kelak pada adab 15 dibuktikan bahwa pernyataan ini salah), sehingga dia hanya member solusi Geometri. Gambar kerucut yang dipotong untuk menyelesaikan pangkat dua sudah pernah dipakai oleh Manaechmus, Archimedes dan Alhazen, namun Omar Khayyam mengambil cara lebih elegan dengan melakukan generalisasi metode guna mencakup persamaan- persamaan pangkat tiga dengan hasil berupa akar bilangan positif.

     Untuk persamaan dengan pangkat lebih dari tiga Omar Khayyam tidak dapat member gambaran dengan menggunakan metode Geometri yang sama. Dianggap bahwa tidak ada dimensi lebih dari tiga “apa yang disebut dengan kuadrat di kuadratkan oleh para ahli Aljabar, memberi daya tarik dari sisi teoretis”. Untuk lebih jelasnya berikut adalah contoh persamaannya: 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏2 𝑥 + 𝑐3 = 0 kemudian dengan teknik substitusi dengan mengganti 𝑥2 =2py maka akan diperoleh 2pxy + 2apy + 𝑏2 𝑥 + 𝑐3 = 0 hasilnya dari persamaan ini adalah hiperbola dan variabel untuk melakukan substitusi 𝑥2 =2py adalah parabola. Tampak jelas bahwa hiperbola digambar bersama-sama dengan parabola pada (system) koordinat yang sama, sedangkan absis merupakan titik- titik perpotongan parabola dan hiperbola adalah hasil akar persamaan kuadrat. Dia belum menjelaskan tentang koefisien negative. Niatnya memecahkan problem berdasarkan parameter a,b, c adalah bilangan positif, negative atau nol. Tidak semua akar dari persamaan kuadrat diketahui, karena dia tidak mengetahui akar persamaan negatif.

6.      Kowa Seki (1637/1642- 1708 M) Kowa Seki ( Takakazu Seki) adalah matematikawan yang berasal dari Jepang yang menciptakan system notasi baru matematika yang digunakan di banyak teorema dan teori. Dia juga menyumbangkan koteribusinya untuk perkembangan matematika awal jepang. Sumbangan terkenal dia pada Aljabar adalah menemukan Determinan.

     Ia mempublikasikan konsep Determinan pertama kali di Jepang pada tahun 1683. Ia menulis buku Method of Solving the Dissimulated problems yang memuat metode matriks, akan tetapi Kowa Seki belum menggunakan istilah Determinan dalam memaparkan konsep determinan ini. Meskipun ia telah memperkenalkan bentuk Determinan dan member metode umum untuk menghitungnya. Ia menemukan Determinan khusus untuk matriks ordo 2x2, 3x3, 4x4,5x5 saja. Gambar 7. Kowa Seki 8. Robert Recorde( 1512-1558 M) Robert Recorde adalah seorang matematikus yang memperkenalkan tanda “=” yang terdapat dalam bukunya yang berjudul “The Whetstone of Witte” pada tahun 1557. Gambar 8. Robert Recorde

     Dari beberapa tokoh diatas, penulis menyimpulkan bahwa terdapat banyak sekali tokoh-tokoh yang sangat berperan dalam ilmu pengetahuan matematika terutama dalam perkembangan Aljabar seperti yang sudah di uraikan di atas. Kita harus menghargai jasa-jasa mereka karena tanpa jasa-jasanya, kita tidak mungkin tahu atau mengenal apa itu Aljabar.

Read more

matematika realistik

Matematika realistik

            Matematika realistik adalah matematika sekolah yang dilaksanakan dengan meletakkan realitas dan pengalaman siswa sebagai titik awal pembelajaran . mamasalah-masalah realistik digunakan sebagainsumber munculnya konsep-konsep matematika atau pengetahuan matematika formal . pembelajaran matematika realistik dikelas berorientasi pada karakteristik RME .karakteristik RME menggunakan konsep ,dunia nyata, model interaktif dan keterkaitan.

            Pembelajaran matematika realistik merupakan teori belajar mengajar dalam pemdidikan matematika , teori ini pertama kali diperkenalkan dan kembangkan dibelanda pada tahun 1970oleh Institut Fruendenthal.. fruendenthal berpendapat bahwa matematika harus diartikan dengan  realita dan matematika merupakan aktivitas manusia . maka dari itu matematika harus ada hubungannya dengan kenyataan .

            Implemenasi pembelajaran matematika realistik misalkan pada pelajaran pecahan pada anak SD , sebelum mengenalkan materi pada siswa sebaiknya diawali dengan pembagian yang menjadikan bilangan yang sama yaitu pembagian kue pada tiap anak . supaya anak memahami pembagian dalambentuk sederhana dan terjadi dalam kehidupan sehari-hari. . pembelajaran ini sangat berbeda denganmatematika yang buka realistik dimana siswa sejak awal sudah dicekokin tentang pecahan .

            Pembelajaran matematika realistik diawalin dengan dunia nyata, agar dapan memudahkan siswa dalam belajar matematika kumudian siswa dengan bantuan guru diberikan kesempatan menemukan sendiri konsep-konsep matematika .setelah itu diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari atau dalam biang lain . hal ini dilakukan agar siswa  tau apa hubungan dan pentingnya belajar matematika .

            Pembelajaran matematika realistik membelikan kesempatan kepada siswa untuk menemukan kembali konsep-konsep matematika berdasarkan pada masalah yang realistik yang diberikan oleh guru . situasi realistik dalam masalah memungkinkan siswa menggunakan cara-cara informal untuk menyelesaikan masalah . dengan demikian pembelajaran matematika realistik akan mempunyai konstribusi yng sangat tinggi dengan pengertian siswa .

Read more

Sejarah Aljabar
1.      Pengertian Aljabar
Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”, “hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang. Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui.
2.      Asal Usul Aljabar
Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem matematika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan  persamaan Linier, persamaan Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam melenium pertama belum masohi, biasanya masih menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan seperti ini
Al-Khawarijmu yang pertama kali memperkenalkan aljabar dalam suatu bentuk dasar yang dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Sedangkan konsep aljabar Diophantus lebih cenderung menggunakan aljabar sebagai alat bantu untuk aplikasi teori bilangan. Para sejarawan meyakini bahwa karya al-Khawarizmi merupakan buku pertama dalam sejarah di mana istilah aljabar muncul dalam konteks disiplin ilmu. Kondisi ini dipertegas dalam pembukuan, formulasi dan kosakata yang secara teknis merupakan suatu kosakata baru.
Ilmu pengetahuan aljabar sendiri sebenarnya merupakan penyempurnaan terhadap pengetahuan yang telah dicapai oleh bangsa Mesir dan Babilonia. Kedua bangsa tersebut telah memiliki catatan-catatan yang berhubungan dengan masalah aritmatika, aljabar dan geometri pada permulaan 2000 SM. Dalam buku Arithmetica of Diophantus terdapat beberapa catatan tentang persamaan kuadrat. Meskipun demikian persamaan yang ada belum terbentuk secara sistematis, tetapi terbentuk secara tidak sengaja melalui penyempurnaan kasus-kasus yang muncul. Karena itu, sebelum masa al-Khawarizmi, aljabar belum merupakan suatu objek yang secara serius dan sistematis dipelajari[2].
3.      Tokoh-tokoh Dalam Mengembangkan Aljabar
a.       Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi,
b.      Al-Qalasadi
c.       Nikolah Ivanovich Lobachevsky (1 Desember 1792 – 24 Februari 1856)
d.      Saraf Aldin al-Muẓaffar ibn Muhammad ibn al-Muẓaffar al-Ṭūsī (1135-1213)
e.       Omar Khayyam, ilmuwan yang berasal dari Persia ini membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik.
f.       Kowa Seki ilmuwan yang berasal dari Jepang pada abad 17, ia mengambangkan tentang determinan.
g.      Robert Recorde adalah seorang yang memperkenalkan tanda “=” yang terdapat dalam bukunya yang berjudul “The Whetstone of Witte” pada tahun 1557.
4.       Klasifikasi dari Aljabar
Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam beberapa kategori berikut ini:
a.       Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan riil direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan aturan yang membangun ekspresi dan persamaan matematika yang melibatkan simbol-simbol. (bidang ini juga mencakup materi yang biasanya diajarkan di sekolah menengah)
Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, -, x,  ) muncul juga dalam aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan simbol (seperti a, x, y, ). Hal ini sangat penting sebab: hal ini mengizinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sitem bilangan riil.
Dengan menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengizinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung variabel yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x+1=10”) . Hal ini juga mengizinkan kita untuk membuat relasi fungsional dari rumus-rumus matematika tersebut (sebagai contoh “Jika anda menjual x tiket, kemudian anda mendapat untung 3x -10 rupiah, dapat dituliskan sebagai(x) = 3x – 10, dimana f adalah fungsi dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja”)[5]
b.      Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Struktur Aljabar semacam Grup, ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis.
c.       Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Metrik).
d.      Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Struktur aljabar.

Read more

Pemanfaatan Software Maple dalam Matematika

harinugroho96.blogspot.com

Program Maple merupakan bagian program komputer yang manfaatnya sangat banyak dirasakan oleh para user. Berdasarkan sejarahnya Konsep pertama dari Maple muncul dari pertemuan pada November 1980 di University of Waterloo. Para peneliti di universitas ingin membeli komputer cukup kuat untuk menjalankan Macsyma. Sebaliknya, diputuskan bahwa mereka akan mengembangkan komputer mereka sendiri sistem aljabar yang akan mampu berjalan di komputer lebih wajar memiliki harga. Versi terbatas pertama muncul pada Desember 1980 dengan Maple menunjukkan pertama di awal konferensi pada tahun 1982. Nama ini referensi untuk warisan Kanada Maple itu. Pada akhir 1983, lebih dari 50 universitas memiliki salinan dari Maple diinstal pada mesin mereka.

Pada tahun 1984, kelompok penelitian diatur dengan Watcom Produk Inc untuk lisensi dan mendistribusikan Maple. Pada tahun 1988 Waterloo Maple Inc didirikan. Tujuan awal perusahaan itu untuk mengelola distribusi perangkat lunak. Akhirnya, perusahaan berevolusi untuk memiliki R & D departemen di mana banyak pembangunan Maple yang dilakukan saat ini, namun perkembangan yang signifikan dari Maple terus di universitas laboratorium penelitian termasuk: Laboratorium Komputasi Simbolik di University of Waterloo, Research Ontario Pusat Aljabar Komputer di University of Western Ontario, dan laboratorium di universitas-universitas lain di seluruh dunia.

Pada tahun 1989, antarmuka pengguna grafis pertama untuk Maple dikembangkan dan disertakan dengan versi 4.3 untuk Macintosh. Versi X11 dan Windows dari antarmuka baru diikuti pada tahun 1990 dengan Maple Maple V. digunakan di sejumlah aplikasi penting dalam ilmu pengetahuan dan matematika mulai dari demonstrasi dari Teorema Terakhir Fermat di nomor teori, untuk solusi dalam Relativitas Umum dan mekanika kuantum. Ini dipamerkan dalam edisi khusus newsletter yang dibuat oleh pengembangan Maple disebut ‘MapleTech . Pada tahun 1999, dengan rilis Maple 6, Maple termasuk beberapa dari Perpustakaan NAG Numerik, dan membuat perbaikan untuk aritmatika presisi sewenang-wenang. Pada tahun 2003, arus “standar” antarmuka diperkenalkan dengan Maple 9. Interface ini terutama ditulis di Jawa (meskipun bagian, seperti aturan untuk typesetting rumus matematika, ditulis dalam bahasa Maple). Antarmuka Jawa dikritik karena lambat; perbaikan telah dibuat dalam versi, meskipun Maple 11 dokumentasi merekomendasikan sebelumnya (“klasik”) antarmuka untuk pengguna dengan kurang dari 500 MB memori fisik. Ini antarmuka klasik tidak lagi dipertahankan.

Antara pertengahan tahun 1995 dan 2005 Maple kehilangan pangsa pasar yang signifikan untuk pesaing karena user interface yang lebih lemah. Pada tahun 2005, Maple 10 memperkenalkan “modus dokumen” baru, sebagai bagian dari antarmuka standar. Fitur utama dari mode ini adalah matematika yang dimasukkan menggunakan dua dimensi masukan, sehingga tampak mirip dengan rumus dalam sebuah buku. Pada tahun 2008, Maple 12 menambahkan fitur antarmuka pengguna tambahan yang ditemukan di Mathematica, termasuk style sheet tujuan khusus, pengendalian header dan footer, pencocokan braket, daerah eksekusi otomatis, template perintah penyelesaian, memeriksa sintaks dan auto-inisialisasi daerah. Fitur tambahan yang ditambahkan untuk membuat Maple lebih mudah untuk digunakan sebagai kotak peralatan MATLAB. Pada bulan September 2009 Maple dan MAPLESOFT diperoleh oleh pengecer perangkat lunak Sistem Jepang Cybernet. Versi utama saat ini adalah versi 15 yang dirilis pada April 2011. contoh tampilannya yaitu :

Hubungan Matematika dan Program Maple

Seiring dengan perkembangan teknologi, pendidikan sudah banyak dibantu oleh teknologi. Tidak heran bahwa teknolgi saat ini sangat dibutuhkan. Pada jaman dulu “sepanjang pengetahuan saya” teknologi dianggap sebagai suatu hal yang tidak penting. Sekarang sudah terbukti bahwa technology memiliki peran penting dalam memberikan solusi untuk pendidikan.

Matematika sebagai materi pelajaran yang memerlukan media visual dalam pembelajarannya. Maple bisa berupa penyelesaian berupa gambar, grafik, tabel, notasi dan laiinnya disesuaikan dengan materi yang akan diajarkan. Ini tidak lepas dari peran computer yang bisa membantu dalam menyajikan tentang bagaimana operasi Maple ini pada pelajarn Matematika ataupun laiinya.

Maple merupakan paket aplikasi matematika yang dapat digunakan untuk melakukan berbagai perhitungan matematis baik secara eksak (analitik) maupun numerik. Dengan kemampuan yang dimiliki, Maple merupakan sebuah alat bantu yang handal untuk pemecahan masalah matematika, baik masalah komputasi numeric, aljabar simbolik, maupun visualisasi.2

Maple adalah program yang sangat atraktif. Menyajikan bahasa yang mudah dipahami karena kesederhanaan perintahnya. Maple mampu melakukan perhitungan-perhitungan dengan cepat, mampu menyelesaikan persamaan-persamaan dalam matematika, serta mampu menggambarkan grafik fungsi matematika, simulasi modeling bahkan dapat menampilkan gambar gambar dalam bentuk animasi. Seperti penjelasan sebelumnya bahwa Maple mampu menjadi solusi dalam berbagai topik matematika. Maple bersifat sangat sensitive dalam pemakaian huruf besar dan huruf kecil dalam persamaan.

Kegunaan Maple dalam Pelajaran Matematika

Ada beberapa manfaat dari program Maple dalam matematika yaitu sebagai berikut :

·                     Dapat mengerjakan komputasi bilangan secara exact

·                     Dapat mengerjakan komputasi numerik yang sangat besar.

·                     Dapat mengerjakan komputasi simbolik dengan baik.

·                     Mempunyai perintah-perintah bawaan dalam library dan untuk menyelesaikan permasalahan 
            dalam bentuk matematika.

·                     mempunyai fasilitas pengeplotan dan animasi untuk grafik baik dimensi dua maupun dimensi 
            tiga.

·                     Mempunyai antarmuka berbasis worksheet.

·                     Mempunyai fasilitas untuk membuat dokumen dalam berbagai format.

·                     Mempunyai fasilitas bahasa pemrograman yang dapat menuliskan fungsi, paket dan sebagainya. 

Maple mempunyai fungsi-fungsi matematika yang standart, seperti:

·                     Fungsi-fungsi trigonometri [sin (x), cos (x) , tan (x)]

·                     Fungsi-fungsi trigonometri hiperbolik [sinh (x), cosh (x), tanh(x)]

·                     Invers fungsi-fungsi trigonometri [arcsin (x), arcos (x), arctan(x)]

·                     Fungsi eksponensial (exp)

·                     Fungsi logaritma natural (ln)

·                     Fungsi logaritma basis 10 (log[10])

·                     Fungsi akar pangkat dua (sqrt)

·                     Pembulatan kebilangan bulat terdekat (round)

·                     Bagian pecah (frac)

Itulah sekilas tentang Software Maple yang memiliki banyak kegunaan khususnya dibidang Matematika. Semoga bermanfaat.

Read more