Matematika Belah Ketupat

Pengertian dan Sifat Belah Ketupat

Mungkin Anda tidak asing dengan yang namanya ketupat. Biasanya ketupat dilengkapi dengan tahu petis dan sering dikenal dengan tidak hanya sebagai makanan, dalam matematika kita mengenal juga yang namanya ketupat, yaitu bangun datar belah ketupat. Apa pengertian bangun datar belah ketupat dan bagaimana sifat-sifat belah ketupat?

Pengertian Belah Ketupat

Kita ketahui bahwa persegi panjang yang keempat sisinya sama panjang disebut persegi. Bagaimanakah jika sebuah jajargenjangsisi-sisinya panjang.  Segitiga ABC sama kaki dengan AB = BC dan O titik tengah sisi AC. Jika Δ ABC diputar setengah putaran (180°) dengan pusat titik O, akan terbentuk bayangan ΔABC, yaitu ΔBCD. Bangun ABCD disebut bangun belah ketupat. 

Jadi pengertian belah ketupat adalah bangun segi empat yang dibentuk dari gabungan segitiga sama kaki dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya.

Sifat-sifat belah ketupat

Belah ketupat pada gambar di atas dibentuk dari segitiga sama kaki ABD dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya. Dari pencerminan tersebut AB akan menempati BC dan AD akan menempati DC , sehingga AB = BC dan AD = DC. Karena ΔABD sama kaki maka AB = AD. Akibatnya AB = BC = AD = DC. Dengan demikian sifat belah ketupat adalah semua sisi belah ketupat sama panjang.  

Selanjutnya, perhatikan diagonal AC dan BD pada belah ketupat ABCD. Jika belah ketupat ABCD tersebut dilipat menurut ruas garis AC, ΔABC dan ΔADC dapat saling menutupi secara tepat (berimpit). Oleh karena itu, AC adalah sumbu simetri, sedemikian sehingga sisi-sisi yang bersesuaian pada ΔABC dan ΔADC sama panjang. Demikian halnya, jika belah ketupat ABCD dilipat menurut ruas garis BD. Segitiga ABD dan segitiga BCD akan saling berimpitan. Dalam hal ini, BD adalah sumbu simetri. Padahal, AC dan BD adalah diagonal-diagonal belah ketupat ABCD. Dengan demikian, sifat ketupat adalah kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetri. 

Putarlah belah ketupat ABCD sebesar setengah putaran dengan pusat titik O, sehingga OA <--> OC dan OB <--> OD. Oleh karena itu, OA = OC dan OB = OD. Akibatnya, ∠AOB = ∠COB dan ∠AOD =∠COD, sedemikian sehingga:
∠AOB + ∠BOC = 180° (berpelurus)

∠AOB + ∠AOB = 180°

2 x ∠AOB = 180°

∠AOB = 90°

Jadi, sudut AOB = sudut BOC = 90°. Maka sifat belah ketupat adalah kedua diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus. 

Apabila belah ketupat ABCD berturut-turut dilipat menurut garis diagonalnya, maka akan terbentuk bangun segitiga yang saling menutup (berimpit). Hal ini berarti ∠A = ∠C dan ∠B = ∠D. Akibatnya:

∠ACD = ∠ACB

∠CAD = ∠CAB

∠BDC = ∠BDA

∠DBC = ∠DBA

Dengan demikian sifat belah ketupat adalah bahwa pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya. 

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sifat-sifat belah ketupat sebagai berikut.

1.                  Semua sisi pada belah ketupat sama panjang.

2.                  Kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetri.

3.                  Kedua diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.

4.                  Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.

Pengertian persegi
Perhatikan Gambar di bawah ini. Gambar di bawah ini adalah sebuah persegi ABCD. Bagaimana panjang setiap sisi dan besar setiap sudut persegi tersebut?

Jika Anda memperhatikannya dengan seksama, maka Anda akan memperoleh bahwa:

1.                  sisi-sisi persegi ABCD sama panjang, yaitu AB = BC = CD = AD;

2.                  sudut-sudut persegi ABCD sama besar, yaitu sudut ABC =sudut BCD = sudut CDA = sudut DAB = 90°.

Dari uraian tersebut dapat kita katakan bahwa persegi merupakan persegi panjang dengan sifat khusus, yaitu keempat sisinya sama panjang. Jadi pengertian Persegi adalah bangun segi empat yang memiliki empat sisi sama panjang dan empat sudut siku-siku dan dapat menempati bingkainya dengan delapan cara. 

Sifat-sifat persegi
Dapatkah Anda menunjukkan sifat-sifat persegi panjang yang dimiliki oleh persegi? Kita telah ketahui bahwa persegi merupakan persegi panjang dengan bentuk khusus, yaitu semua sisinya sama panjang. Oleh karena itu, semua sifat persegi panjang juga merupakan sifat persegi.

Sekarang, perhatikan gambar di atas. Apa yang terjadi jika persegi ABCD dibalik menurut diagonal BD? Berdasarkan gambar di atas, kita peroleh bahwa ∠ABD <---> ∠CBD, sehingga ∠ABD = ∠CBD dan∠ADB <---> ∠CDB, sehingga ∠ADB = ∠CDB. Hal ini menunjukkan bahwa diagonal BD membagi dua sama besar sudut ABC dan sudutADC.

Dengan cara yang sama, pasti Anda dapat membuktikan bahwa diagonal AC membagi dua sama besar sudut DAB dan sudut BCD. Sudut-sudut suatu persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya. 

Sekarang perhatikan gambar di bawah. Gambar tersebut menunjukkan bangun persegi dengan diagonal AC dan BD yang berpotongan di titik O. Kita akan menunjukkan bahwa diagonal AC dan BD saling berpotongan tegak lurus membentuk sudut siku-siku. 

Dengan pusat titik O, putarlah persegi ABCD seperempat putaran berlawanan arah jarum jam. Anda akan memperoleh bahwa:

1.                  ∠AOB <---> ∠BOC, sehingga ∠AOB = ∠BOC;

2.                  ∠BOC <---> ∠COD, sehingga ∠BOC = ∠COD;

3.                  ∠COD <---> ∠AOD, sehingga ∠COD = ∠AOD;

4.                  ∠AOD <---> ∠AOB, sehingga ∠AOD = ∠AOB.

Karena persegi ABCD dapat tepat menempati bingkainya kembali, maka dikatakan bahwa sudut AOB = sudut AOD = sudut COD =sudut BOC. Kita ketahui bahwa sudut satu putaran penuh sama dengan 360°. Akibatnya, ∠AOB = ∠AOD = ∠COD = ∠BOC = 360°/4 = 90°. Jadi, Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan sama panjang membentuk sudut siku-siku. 

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sifat-sifat persegi sebagai berikut.

1.                  Semua sifat persegi panjang merupakan sifat persegi.

2.                  Suatu persegi dapat menempati bingkainya dengan delapan cara.

3.                  Semua sisi persegi adalah sama panjang.

4.                  Sudut-sudut suatu persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal- diagonalnya.

5.                  Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan sama panjang membentuk sudut siku-siku.