bilangan asli

Sistem Bilangan Asli

            Suatu sistem yang dipelajari dengan pendekatan aksiomatis dimulai dari sejumlah istilah (term) primitif dan sejumlah aksioma. Selanjutnya istilah-istilah primitif dengan defenisi bersama-sama dengan beberapa aksioma diturunkan teorema. Terorema dibuktikan hanya dengan aksioma-aksioma yang telah dibuktikan sebelumnya atau denagn aturan dalam logika dan tidak dibenarkan menggunakan terorema-terorema diluar sistem yang akan dipelajari. Istilah-istilah primitif yang diambil dalam mempelajari aksiomatis sistem bilangan asli adalah bilangan asli, pengikut(successor) dan 1. Aksioma yang digunakan adalah 5 Aksioma Peano.

a.       Terorema Peano

1.      Aksioma 1

Aksioma 1 ini menyatakan bahwa sistem yang dipelajari tidak kosong. Sistem yang dipelajari mempunyai anggota yang disebut 1. Pengikut dari 1 ditulis 1’, pengikut 1’ adalah (1’)’ ditulis 1’’, pengikut dari 1’’ adalah 1’’’ dan seterusnya. Sehingga terbentuk bilangan asli : 1, 1’, 1’’, 1’’’,.......... . Dengan simbol yang lazim digunakan, barisan bilangan tersebut adalah 1, 2, 3,4, ....... .

2.      Aksioma 2

Setiap bilangan asli n, ada tepat satu bilangan asli yang disebut pengikut n ditulis n’. Jika 2 bilangan asli maka pengikut-pengikutnya sama pula. Jika bilangan-bilangan asli m=n, maka m’=n’. Telah dikemukakan diatas bahwa 1 diambil sebagai istilah primitif, maka 1 bukan pengikut bilanagan asli manapun. Hal ini dinyatakan sebagai aksioma berikut ini.

3.      Aksioma 3

Untuk setiap bilangan asli n, maka n’≠1. Dengan kata lain, aksioma 3 dapat dinyatakan sebagai : tidak ada bilangan asli yang berpengikut 1 atau 1 bukan pengikut dari bilangan asli maupun, atau tak ada bilangan asli n, sedemikian sehingga n’≠1. Konvers dari aksioma 2 dinyatakan sebagai aksioma berikut ini.

4.      Aksioma 4

Jika m dan n bilangan-bilangan asli dan m’=n’, maka m=n. Dengan kata lain aksioma 4 dapat dinyatakan sebagai : Bilangan-bilangan asli yang berbeda tak mungkin mempunyai pengikut-pengikut yang sama atau ada tepat satu bilangan asli yang merupakan pengikut suatu bilangan asli yang diketahui. Induksi lengkap atau induksi matematika yang telah dikenal dan digunakan dinyatakan sebagai aksioma berikut ini.

5.      Aksioma 5

Jika S adalah suatu himpunan bilangan asli sedemikian hingga

(i)                 1 adalah anggota S, dan

(ii)               Apabila k anggota S maka k’ anggota S

Maka S memuat semua bilangan asli. Semua sifat yang telah dikenal dalam sistem bilangan asli dapat dibuktikan dengan aksioma-aksioma tersebut beserta defenisi-defenisi yang diberikan. Perhatikam aksioma 4, maka kontra positifnya pun benar pula.

Teorema 1

            Jika m dan n bilangan-bilangan asli dan m≠n, maka m’≠n’. Dengan menggunakan aksioma –aksioma diatas kita dapat menurunkan bahwa setiap bilangan asli n, n≠n’.

Teorema 2

Setiap bilangan asli n, n≠n’

Bukti :

Misalkan S adalah himpunan bilangan asli n yang memiliki sifat n≠n’.

(i)                 Menurut aksioma 1, karena S himpunan bilangan asli, maka 1 adalah anggota S

(ii)               Ambil n є S, berarti n≠n’, maka n’≠(n’)’ berarti n’ є S

Dari (i) dan (ii) menurut aksioma 5, S memuat semua bilangan asli. Dengan kata lain setiap bilangan asli n berlaku n≠n’.

Aksioma 4

Menyatakan bahwa ada tepat 1 bilangan asli yang merupakan pengikut suatu bilangan asli yang diketahui. Apabila setiap bilangan asli kecuali 1 mesti ada bilangan asli lain, sehingga bilangan asli pertama merupakan pengikut bilangan asli lain itu. Perhatikan teorema berikut ini.

Teorema 3

Jika n bilangan asli dan n≠1, maka ada tepat satu bilangan asli m sehingga n=m’.

Bukti :

      Misalkan S adalah himpunan bilangan yang memuat 1 dan semua bilangan n yang mempunyai m sehingga n=m’.

(i)                 1 jelas anggota S

(ii)               Ambil nєS, berarti ada bilangan asli m sehingga n=m’, maka n dapat juga disebut m’ sehingga karena nєS maka m’єS pula.

Maka menurut aksioma 5, dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa S memuat semua bilangan asli. Ini berarti untuk setiap bilangan asli n dengan n≠1, ada bilangan asli m’ sehingga n=m’. Sekarang tinggal membuktikan ketunggalan adanya m’.

      Andaikan ada bilanagn asli p denagn p≠m sehingga n=p’. Karena n=m’ dna m’= p’ maka m=p. Diperoleh kontradiksi denagn pengandaian bahwa m≠p, maka pengandaian tersebut harus diingkar, berarti m=p, maka ada tepat satu bilangan m sehingga m’= n