Barisan dan deret aritmatika ~ Blogger Mahasiswa

Barisan dan Deret Aritmatika

A. Barisan Bilangan

Berdasarkan hasil kegiatan 6.1, kamu menemukan suatu susunan bilangan seperti berikut.

1, 4, 9, 16, ...

Perhatikan bahwa susunan bilangan-bilangan di atas mempunyai keteraturan dari bilangan pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya. Keteraturan tersebut adalah bilangan pertama didapatkan dari 1¹, bilangan kedua didapatkan dari 2², bilangan ketiga didapatkan dari 3³, dan bilangan keempat didapatkan dari 4⁴. bilangan-bilangan yang disusun urut dengan aturan tertentu seperti itu disebut barisan bilangan.

Secara matematis, barisan bilangan dilambangkan dengan “U” untuk menyatakan urutan suku-sukunya. Oleh sebab itu, barisan bilangan ditulis dalam bentuk berikut.

U₁, U₂, U₃, U₄, .... U_n.

U_n disebut sebagai rumus suku ke-n dari barisan bilangan.

Kesimpulan: Barisan bilangan adalah kumpulan bilangan yang diurutkan dengan pola atau aturan tertentu. Setiap bilangan dalam barisan itu disebut suku-suku barisan, ditulis dengan lambang “U”. Agar kamu memahami barisan bilangan dan cara menentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan, perhatikan contoh berikut.

Contoh soal

Diketahui barisan bilangan 0,3, 8, 15,...

a. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan diatas

b. Suku keberapa dari barisan bilangan tersebut yang bernilai 224?

Penyelesaian :

a. Suku ke-1 : U₁ = 0 = 1²-1

Suku ke-2 : U₂ = 3 = 2²-1

Suku ke-3 : U₃ = 8 = 3²-1

Suku ke-4 : U₄ = 15 = 4²-1

Dengan demikian didapatkan U_n = n²-1

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan bilangan diatas adalah U_n = n²-1

b. Diketahui suku ke-n = 224, sehingga dapat ditentukan nilai n sebagai berikut.

U_n = 224

Ø n²-1 = 224

Ø n² = 224

Ø n² = 225

Ø n = 15

jadi, suku yang nilainya 224 adalah suku ke-15

B. Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang suku berikutnya diperoleh dengan cara menambahkan atau mengurangi suatu bilangan tetap terhadap suku sebelumnya. suatu bilangan tetap tersebut dinamakan dengan beda atau selisih dilambangkan dengan b.

Jika U_n adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmatika, maka berlaku sebagai berikut.

b = U_n - U_{n
– 1}

Rumus suku ke-n dari barisan aritmatika dengan suku pertama (U₁) dilambangkan dengan a dan b, dapat ditentukan sebagai berikut.

U₁= a

U₂ = U₁+ b = a + b

U₃ = U₂+ b = (a + b) + b = a + 2b

U₄ = U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U₅ = U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

....

U_n= U_{n – 1} + b = a + (n – 1)b

Dengan demikian, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika dapat dirumuskan sebagai berikut.

U_n= a + ( n – 1 )b

Dimana: U_n = suku ke-n b = beda

a = suku pertama n = banyak suku

Contoh soal

Diketahui barisan aritmatika 95, 90, 85, 80, ...,0. carilah suku ke-10 dan tentukan banyak suku pada barisan tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui barisan 95, 90, 85, 80, ...,0. Dari barisan tersebut di dapatkan

a = 95

b = 90 – 95 = -5

U_n= a + ( n – 1 )b

sehingga suku ke-10 dapat ditentukan sebagai berikut

U₁₀= 95 + (10 – 1) (-5)

U₁₀ = 95 – 45

U₁₀ = 50

Banyaknya suku barisan aritmatika diatas dapat ditentukan sebagai berikut

U_n= a + ( n – 1 )b

0 = 95 + (n – 1 )(-5)

0 = 95 – 5n + 5

0 = 100 – 5n

5n = 100

n = 20

jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 50 dan banyak suku ada 20 suku.

1. Suku Tengah dan Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku ganjil n, suku pertama a, dan suku akhir U_n, maka suku tengah U_t dapat ditentukan dengan rumus berikut.

U_t =

, dengan t =

Antara dua suku yang berurutan pada barisan aritmatika dapat disisipkan sebanyak k suku baru, sehingga didapatkan beda dari barisan yang baru diru,uskan sebagai berikut.

b^’ =

Dengan: b^’= beda barisan aritmatika yang baru
b = beda barisan aritmatika yang lama
k = banyak suku yang disisipkan

Contoh soal

Misalkan di antara bilangan 13 dan 61 disisipkan sebanyak 11 suku sehingga membentuk barisan aritmatika yang terbentuk dengan tepat. Kemudian carilah suku tengah dari barisan aritmatika tersebut jika banyak suku ganjil.

Penyelesaian:
Diketahui: a= 13 dan U_n=61, sehingga b= 61 - 13= 48
Banyak sisipan ada 11 suku, sehingga barisan aritmatika yang terbentuk mempunyai beda yang baru sebagai berikut.
b^’=

= 4
Dengan demikian banyaknya suku ada 11 + 2 = 13suku.
Karena barisan aritmatika mempunyai banyak suku ganjil, maka dapat ditentukan suku tengahnya sebagai berikut.
U_t =

= 37

C. Barisan Geometri

Misalkan jumlah penduduk suatu desa dituliskan dalam ribuan jiwa. Jika dihitung dengan teliti, maka jumlah penduduk desa tersebut dari tahun 2010 hingga 2015 dapat dituliskan dalam barisan bilangan berikut.

250, 500, 1000, 2000, 4000, 8000.

Jika kamu perhatikan dengan cermat, perbandingan antara dua bilangan yang berurutan adalah sama, yaitu 2. Barisan bilangan yang perbandingan setiap dua suku berurutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan) disebut sebagai barisan geometri. Bilangan yang tetap tersebut disebut rasio dan dilambangkan dengan r.

Jika U_n adalah suku ke-n dari suatu barisan geometri, maka berlaku sebagai berikut.

r =

Rumus suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U₁) dilambangkan dengan a dan rasio r, dapat ditentukan seperti berikut.

U₁ = a

U₂ = U₁x r =ar

U₃= U₂x r = ar²

U₄= U₃x r = ar³

U₅ = U₄ x r = ar⁴

^....

U_n= U_n-1 x r = ar^n-1.

Dengan demikian, rumus suku ke-n dari barisan geometri dapat dirumuskan sebagai berikut.

U_n = ar^n-1

Dengan : U_n = suku ke-n

a = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

Contoh soal

Risma memiliki industri rumahan yang memproduksi tas rajut. Jumlah tas rajut yang dihasilkan pada hari pertama hingga hari ketiga membentuk suatu barisan geometri. Jika hasil kali dari produksi tas rajut dalam tiga hari tersebut adalah 512 dan jumlahnya 28, maka tentukan jumlah produksi yang dihasilkan pada hari pertama, kedua, dan ketika.

Penyelesaian :

Misalkan barisan geometri tersebut adalah

, a, dan ar.

Hasil kali produksi tas rajut tersebut adalah 512,

Maka

x a x ar =512 ↔ a³ =512

Karena a³ =512, didapatkan a=8

Jumlah produksi tas rajut dalam tiga hari tersebut adalah 28,

Maka

+ a +ar =28.

Substitusikan a =8 ke persamaan

+ a + ar =28, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut.

+ 8 +8r =28 ..... (kedua ruas dikalikan dengan r)

↔8+8r+8r² =28r

↔ 8r²-20r+8 = 0

↔ 2r²-5r+2 =0

↔(2r-1)(r-2) =0

↔2r-1=0 atau r=2

Untuk r=

dan a=8, jumlah tas rajut yang dihasilkan adalah 16,8, dan 4

Untuk r=2 dan a=8, jumlah tas rajut yang dihasilkan adalah 4, 8, dan 16

1. Suku Tengah dan Sisipan pada Barisan Geometri

Diketahui barisan geometri mempunyai banyak suku ganjil n, suku pertama a, dan suku akhir U_n, maka suku tengah U₁ dapat ditentukan dengan rumus berikut.

, dengan

Hasil kali semua suku-sukunya adalah P =

. Antara dua suku yang berurutan pada barisan geometri dapat disisipkan sebanyak k suku baru, sehingga didapatkan rasio dari barisan geometri yang baru dirumuskan sebagai berikut.

Dengan : r¹= beda barisan geometri yang baru

r = beda barisan geometri yang lama

k = banyak suku yang disisipkan

Contoh soal.

Diketahui barisan geometri dengan banyak suku 9 buah, suku terakhir 64, serta hasil kali suku-sukunya adalah 2^18.Tentukan suku tengah dan suku pertamanya.

Penyelesaian :

^Øn= 9, U_n= 64, P = 2¹⁸

P =