Himpunan

HIMPUNAN

A.    Pengertian Himpunan

      Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman. . Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan sifat/karakter atau Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas.

contoh:

·         Himpunan nama-nama hari ( merupakan himpunan)

·         Himpunan bilangan asli ganjil ( merupakan himpunan)

·         Himpunan wanita cantik ( bukan himpunan)

·         Himpunan merk sepatu mahal (bukan himpunan)

B.     Cara Penulisan Himpunan

1.      Dengan menyebutkan semua anggotanya yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma

contoh:

·         Himpunan A adalah himpunan nama-nama hari

maka A={ senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, minggu }

·         Himpunan B adalah nama-nama bulan dalam kelender Masehi

maka B={januari, februari, maret, april, mei, juni, juli, agustus, september, oktober, november, desember}

2.      Dengan menyebutkan syarat anggota-anggotanya atau desibut dengan cara evaluasi

contoh:

·         Himpunan C adalah bilangan kelipatan 12 lebih dari 30

maka A= { x | x adalah kelipatan 12, x > 30}

·         Himpunan B adalah himpunan bilangan yang habis dibagi 2 lebih dari 4

maka B = {x | x adalah bilangan yang habis dibagi 2, x > 4}

3.      Dengan Notasi Pembentuk Himpunan, yaitu dengan menggunakan  simbol-simbol

contoh:

·         Hinpunan A adalah himpunan kelipatan 6 yang lebih dari 10 dan kurang dari 100

maka A= { x | 10 < x <100 } x є R

·         Himpunan B adalah himpunan bilangan prima antara 1 dan 20

maka B= { x | 1< x < 20} x є bilangan prima

4.      Dengan diagram Venn

Menyajikan himpunan secara grafis.

Contoh :

·         Jika diketahui U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} dan

E ={3,6,9} dan F = {5,6,10}

S                              E                     F 1  2                 3                                  5                                           4   7                               6                        10       8  9             11                12

 

C.     Kardinalitas

Notasi : n(A) atau |A|

Kardinalitas adalah ukuran banyaknya anggota berbeda yang terdapat didalam himpunan tersebut, dinotasikan sebagai berikut:

contoh:

·         A = {sendok,piring,garpu,baskom}

maka n(A) = 4 atau |A|=4

D.    Macam- Macam Himpunan

1.      Himpunan kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali. nilai Himpunan kosong dinyatakan dengan ø (phi) atau {}.

Contoh:

·         B = Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua

2.      Himpunan Bagian (subset)

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari himpunan B ditulis A⊂ B, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Contoh :

·         Jika diketahui A adalah himpunan  bilangan ganjil lebih dari sama dengan 2 dan kurang dari sama dengan 4, dan himpunan B adalah himpunan kelipatan 3 kurang dari sama dengan 20

maka A= {3} dan B={3,6,9,12,15,18}sehingga A⊂B

3.      Himpunan berhingga dan tak berhingga

Suatu himpunan disebut berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung, maka proses penghitungannya dapat berakhir. Suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung maka proses penghitungannya tidak dapat diakhiri.

a.       contoh himpunan berhingga

·         A= Nama-nama hari dalam seminggu

A={senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, minggu}

·         B = {x| x є negara - negara Asean}

B={ Indonesia, Malaysia, Singapura, Kamboja, Vietnam, Myanmar,    Brunei Darussalam, Thailand }

b.      contoh himpunan tak berhingga

·         A= Himpunan bilangan genap

A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . . . . .}

·         B= Himpunan bilangan ganjil

B={1,3,5,7,9,11,13,15,.  .  .  .  .  .}

4.      Himpunan semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” yang berarti himpunan yang memuat semua anggota , biasanya dalam bentuk diagram Ven

5.      Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa adalah himpunan yang anggotanya adalah semua  anggota dari himpunan tersebut, biasanya dinotasikan dengan 2ⁿ.

A={1,2,3} maka n(A)= 3

2^A= { {}, {1}, {2}, {3},  {1,2}, {1,3}, {2,3},{1,2,3}}

n(2^A) = 8.

6.      Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, ditulis A~B jika dan hanya jika:

a.       n(A) = n(B), untuk A dan B himpunan berhingga.

b.      A dan B berkorespondensi satu-satu, untuk A dan B himpunan tak berhingga.

Contoh :

A={ 1,2,3,4} dan B={ mangga, jeruk, apel, anggur}

maka n(A) = n(B) = 5 sehingga A~B

7.      Himpunan yang sama

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis A=B jika dan hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggotaanggota B artinya setiap anggota A ada di B dan setiap anggota B ada di A dan dapat ditulis: A=B, jika A⊂ B dan B⊂ A.

contoh:

·         himpunan A = {1,3,5,7,9), B ={2,4,6,8,10), dan C = {1,6,7,9,4). Banyaknya anggota himpunan A ditulis dengan n(A), sehingga:

A = C dan n(A) = n(C) 5, dan

n(A) = n(B) = 5 tetapi A≠B

E.     Operasi pada himpunan

1.      Irisan

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. lrisan A dan B ditulis A∩B adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A dan juga berada dalam B.

contoh:

·         A={0,1,2,3,4} dan B={2,4,6,8}

maka irisannya adalah A∩ B= {2,4}

2.      Gabungan

gabungan adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A atau B atau dalam A dan B. Misalkan A dan B adalah himpunan. Gabungan A dan B ditulis A∪B Dapat ditulis A∪B = {x| x A atau x B}.

contoh :

·         A={1,2,3,4} dan B ={7,8,9,10}

maka gabungannya adalah: A∪B ={1,2,3,4,7,8,9,10}

3.      Penjumlahan

Adalah operasi dalam himpunan dimana anggotanya adalah semua anggota yang berbeda/tidak sama dari masing-masing himpunan.

contoh:

·         A={0,1,2,3,4} dan B={2,4,6,8,10}

maka R+S ={0,1,3,6,8,10

4.      Selisih

Adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota yang berbeda dari himpunan yang lainnya, atau juga dapat diartikan bahwa selisih adalah himpunan yang anggotanya bukan hasil dari irisan kedua himpunan

contoh:

·         A ={1,2,3,4,5,6,7} dan B = {1, 2, 3, 4, 8}

maka    A-B={ 5,6,7}

            B-A={8}

5.      Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan terhadap suatu himpunan semesta yang anggotannya merupakan anggota yang tidak sama antara himpunan semesta dengan himpunan yang lain.

contoh :

·         S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10}, A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7}

 A^C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

B^C = {1, 4, 6, 8, 9, 10}

6.      Perkalian

A x B = {(a,b)} | a ∈ A dan b ∈ B

Adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan himpunan kedua dari himpunan B. Dinotasikan :

contoh:

·         A={1,2,3,4} dan B={a,b,c,d}

maka A x B = {(1,a), (2,b), (3,c), (4,d)}

7.      Beda Setangkup

Adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tapi tidak di keduanya

contoh:

·         Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

 maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 }