Relasi

A.  PENGERTIAN RELASI

Relasi adalah hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Relasi dari himpunan C ke himpunan D adalah menghubungkan anggota-anggota himpunan C dengan anggota-anggota himpunan D.

Contoh:
Himpunan Y = { 1,2,3 } dan himpunan Z = { A,B,C }

Anggota-anggota himpunan Y dan Z dapat dihubungkan dengan relasi yaitu "faktor dari".

B.     CARA MENYATAKAN RELASI

Nah, contoh relasi diatas dapat kita nyatakan dengan tiga pilihan. Pertama adalah diagram panah, diagram cartesius dan himpunan pasangan beruntun. Penasaran? langsung saja lihat dibawah ini sobat.

1.      Diagram Panah

Contoh relasi pada point (i) dapat kita nyatakan kedalam diagram panah sebagai berikut:

2.      Diagram Cartesius

 

Contoh relasi pada point (i) dapat kita nyatakan kedalam diagram cartesius sebagai berikut:

3.      Himpunan Pasangan Beruntun

Contoh di atas dapat dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan dengan memasangkan secara berurutan anggota-anggota himpunan A dan anggotaanggota himpunan B yaitu:

{(1,A), (1,B), (2,B), (3,B), (3,C)}

C.    MACAM-MACAM RELASI dan SIFAT-SIFAT RELASI

1.       Relasi Biner

Adalah hasil kali 2 himpunan atau relasi yang menghubungkan 2 himpunan yang himpunan bagianya tidak kosong.

Sifat-sifat relasi Biner

a.       Reflektif

Suatu relasi bersifat reflektif , jika setiap x є A, maka (A,A) є R

Contoh :

ü  B = {1,2,3} dan R = {(x,y)│x,y є B, xy > 0}

Periksa apakah R reflektif atau tidak

Peny :

B x B = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3) dari hasil kali Cartesian kita memperoleh R = {(1,1),(2,2),(3,3)}. Karena semua hasil xy > 0 dan x є B, maka R adalah relasi yang reflektif.

ü  A = {-1,0,1} dan R = {(x,y)│x,y є A, xy > 0}

Periksa apakah R reflektif atau tidak

b.      Simetris

Suatu relasi bersifat simetrik, jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx

Contoh

ü  M = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y є M,  xy > 0}

Periksa apakah R simetris atau tidak

Peny :

M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2)

                 (0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2)

                 (2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh

R = {(-2,-2), (-2,-1), (-1,-2), (-1,-1), (1,1), (1,2), (2,2)}

Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan x,y є M. Jadi R adalah sebuah relasi yang simetris.

ü  B = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y є B,  x ≤ y }

Periksa apakah R simetris atau tidak

c.       Antisimetris

Suatu Relasi bersifat antisimetris, jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx maka x = y.

Contoh :

ü  A  = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y є A,  y = │x }

Periksa apakah R antisimetris atau tidak

Peny :

M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2)

                 (0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2)

                 (2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh

R = {(-2,2),(-1,1),(1,1),(0,0),(2,2)}

Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan x,y є A. Jadi R adalah sebuah relasi yang antisimetris.

ü  G = {B,A,M} dan R = {(B,A), (A,B), (B,M), (M,B), (A,M)}

Periksa apakah R antisimetris atau tidak

d.      Transitif

Suatu Relasi bersifat transitif, jika setiap x,y,z є A dengan xRy, yRz, dan xRz

Contoh :

ü  A = {-1,0,1} dan R = {(x,y) │x,y є A, x ≥ y}

Periksa apakah R transitif atau tidak

Peny :

A x A = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)} dari hasil kali Cartesian kita memperoleh,

R = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,0), (0,1), (1,1)}

Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y,z є A) dengan xRy dan yRz, berlaku xRz

ü  N = {G,U,T} dan R = {(G,U), (T,U), (U,G), (G,T)

Periksa apakah R transitif atau tidak.

sekian dulu yee... 😍